यदि $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_r} \cdot ^{50 - r}{C_{25 - r}}} \right) = K\left( {^{50}{C_{25}}} \right)}$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो समांतर श्रेणियों के $n$ पदों का योग $(2n + 3) : (6n + 5)$ के अनुपात में है,तो उनके $13$ वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

एक गुणोत्तर श्रेणी के कुछ पदों का योग $728$ है। यदि सार्व अनुपात $3$ है और अंतिम पद $486$ है,तो श्रेणी का प्रथम पद क्या होगा?

मान लीजिए $n (> 1)$ एक धनात्मक पूर्णांक है। तो सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ज्ञात कीजिए ताकि $(n^m + 1)$,$(1 + n + n^2 + \dots + n^{127})$ को विभाजित करे:

$S = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ श्रेणी के लिए $n$ पदों तक,
कथन $-1$: श्रेणी का योग हमेशा $n$ के मान पर निर्भर करता है,अर्थात यह सम है या विषम।
कथन $-2$: जब $n$ कोई भी सम पूर्णांक हो तो श्रेणी का योग $-\frac{n}{2}$ होता है।